ICC’26 (TWC’26) 补充说明
Comments and Discussions for ICC’26 (TWC’26)

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Published: February 01, 2026

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本文会议版目前刚被接受，距离最终版出版还需要一段时间，但由于期刊版本已经投递审稿，我们就不再上传会议版本的arXiv，预览版论文请见这里。

本文的核心思想是将最优天线布局问题转化为一个电荷平衡问题，然后通过不同的算法进行天线位置求解。在会议版本中我们提供了一个贪婪选择算法，通过对离散位置进行贪婪选择来最大化容量，而在期刊版本中，我们将位置视作连续变量，求解了最优位置的闭式解。

首先，我们的系统模型如图所示

系统模型

这个图里值得一提的是我们用三角变换来表示天线位置。实际上在近场中直接采用笛卡尔坐标系会导致表达较为复杂，从而不得不引入一些误差较大的近似。三角变换则可以避免这个问题。

那么经过一些简单的误差相对更低的近似，我们可以将距离近似表达为

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \tilde{r}_{m,n} &= r_m + d_n\left( \sin\theta_{\rm UE} \cos\varphi_m- \cos\theta_{\rm UE}\sin\varphi_m\right)\\ & = y_0\sec\varphi_m + d_n \sin\left( \theta_{\rm UE} - \varphi_m \right)\\ & = r_m + d_n \sin\left( \theta_{\rm UE} - \varphi_m \right). \end{aligned} \end{equation} $$

由于近场信道的距离项处于指数中，加性距离可以直接转化为乘性相位。我们可以借此将信道模型分成两部分：

$$ \begin{equation} \tilde{\bf H}_{ {\bf x} } = {\bf P} {\bf D}_{\rm T}, \end{equation} $$

其中${\bf D}_{\rm T}$是一个对角矩阵，只与距离$r_m$有关

$$ \begin{equation} {\bf D}_{\rm T}={\rm diag}\left(\left[ \frac{e^{\jmath \kappa r_1} }{r_1},\frac{e^{\jmath \kappa r_2} }{r_2},\cdots,\frac{e^{\jmath \kappa r_M} }{r_M} \right] \right), \end{equation} $$

而${\bf P}$中只含有收发机天线位置相关的交叉项。处理矩阵${\bf P}$比较困难，因为它包含了所有天线位置的耦合关系。所以我们采用了一个泰勒展开¹

$$ \begin{equation} \begin{aligned} {\bf P}[n,m] &= e^{-\jmath\kappa d_n\sin\left(\varphi_m - \theta_{\rm UE}\right) }\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left( -\jmath \kappa d_n\sin\left(\varphi_m - \theta_{\rm UE}\right) \right)^k}{k!}. \end{aligned} \end{equation} $$

分析矩阵的性质，我们发现可以对矩阵${\bf P}$进行截断。此时，该矩阵的泰勒展开结果刚好可以写成范德蒙矩阵的乘积形式

$$ \begin{equation} {\bf P} = {\bf V}_{\rm R} \boldsymbol{\Sigma} {\bf V}_{\rm T}^H, \label{eq:decomp_vander_} \end{equation} $$

其中

$$ \begin{equation} {\bf V}_{\rm T} = \left[\begin{matrix} 1 & \sin\left(\varphi_1 - \theta_{\rm UE}\right) & \sin^2\left(\varphi_1 - \theta_{\rm UE}\right) &\cdots\\ 1 & \sin\left(\varphi_2 - \theta_{\rm UE}\right) & \sin^2\left(\varphi_2 - \theta_{\rm UE}\right) &\cdots\\ \vdots &\vdots & \vdots&\cdots\\ 1 & \sin\left(\varphi_M - \theta_{\rm UE}\right) & \sin^2\left(\varphi_M - \theta_{\rm UE}\right) &\cdots \end{matrix} \right] \label{eq:vandermonde_t} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} {\bf V}_{\rm R} = \left[\begin{matrix} 1 & d_1 & d_1^2&\cdots\\ 1 & d_2 & d_2^2&\cdots\\ \vdots &\vdots & \vdots&\cdots\\ 1 & d_N & d_N^2 &\cdots \end{matrix} \right]. \label{eq:vandermonde_r} \end{equation} $$

经过简单的变换容易知道，此时最大化频谱效率问题已经可以近似转化为最大化范德蒙矩阵的行列式（此处详细内容见原文期刊版²）,简单重写问题如下

$$ \begin{equation} \mathcal{P}_2: \begin{aligned} &\underset{\bf s}{\max} && 2\sum_{1\leq i< j\leq M} \log_2 \left( s_j -s_i \right) + \sum_{m=1}^{M} \log_2 \left( 1-\tilde{s}_m^2 \right)\\ &\mathrm{s.t.}&&s_{\rm min} = s_1 < s_2 <\cdots < s_M={s}_{\rm max}, \end{aligned} \end{equation} $$

其中右侧的第一项是Vandermonde行列式的等效形式，第二项则是对角矩阵的行列式形式，包含一项非线形变换。外场的具体形式为

$$ \begin{equation} w(s) = 1-\tilde{s}^2=1-\sin^2\left( \arcsin s +\theta_{\rm UE} \right), \end{equation} $$

由于$s$是角度域的变量，天线最优位置问题至此就转化为角度域上的加权Fekete点问题。由于外场函数形式特殊，闭式解较难求解，因此会议版中我们选择使用贪婪算法求解。该算法模拟的是Leja序列的生成过程，通过逐步选择最优点来构建天线位置集合。该算法的伪代码如下，不过本文中增加了一个简单的位置约束，防止天线过于集中。

仿真结果如图

可达速率增益

值得一提的是这个非线性变换下，原问题实际上也是凸的，所以我们也可以使用CVX求解，对比一下解的精确度。结果如下

贪婪与CVX方案偏差

那么有没有办法求得精确的解析解呢，答案是肯定的。对优化目标求一阶平衡条件，我们得到

$$ \begin{equation} \frac{\partial J}{\partial s_m} = \frac{1}{\ln 2}\left( \sum_{\substack{i=1\\i\neq m}}^{M} \frac{2}{s_m-s_i} - \frac{2\tan\varphi_m}{\sqrt{1-s_m^2}} \right)=0.\label{eq:firstorder_ori} \end{equation} $$

对外场项进行一次泰勒展开³，原问题转化为

$$ \begin{equation} \sum_{\substack{i=2\\i\neq m}}^{M-1}\frac{2}{s_m-s_i}=-\frac{2}{s_m-s_{\rm min}}-\frac{2}{s_m-s_{\rm max}}-\frac{1}{s_m-\hat{b}}, \label{eq:equilibrium} \end{equation} $$

该方程是相互作用力为$1/\Delta r$的电荷平衡方程（传统电荷力与距离的平方成反比），相关参数的含义此处不做过多赘述。考虑归一化$t = \frac{s-s_{\rm min}}{s_{\rm max}-s_{\rm min}}\in (0,1)$，则原电荷平衡问题变换到区间$(0,1)$内

$$ \begin{equation} \sum_{\substack{i=2\\i\neq m}}^{M-1}\frac{2}{t_m-t_i} = - \frac{2}{t_m}-\frac{2}{t_m-1}-\frac{1}{t_m-\tilde{b}}, \label{eq:equilibrium_norm} \end{equation} $$

上述转化过程如图所示，我们先将天线位置变换到角度域$s_m$，然后进行归一化。通过求解归一化的电荷平衡问题，并对结果进行合适的反变换，我们就可以得到天线的最优位置。

电荷平衡问题转化示意

如果想以足够高的效率和精度计算上述平衡方程的解，借助一些已经well-developed数值计算算法是非常有帮助的。这里，我们首先假设，平衡方程的最优解是多项式$p(t)$的根，即

$$ \begin{equation} p(t) = \prod_{m=2}^{M-1}\left( t- t_m\right) = \sum_{m=0}^{M-2} c_m t^m, \label{eq:defp} \end{equation} $$

那么利用一个现有结论

$$ \begin{equation} \frac{p^{\prime\prime}(t_m)}{p^{\prime}(t_m)} = \sum_{\substack{i=2\\i\neq m}}^{M-1} \frac{2}{t_m-t_i} \label{eq:pppdpp} \end{equation} $$

原平衡方程就可以写成一个二阶微分方程

$$ \begin{equation} p^{\prime\prime}(t)+\left( \frac{2}{t}+\frac{2}{t-1}+\frac{1}{t-\tilde{b}} \right)p^{\prime}(t)+\frac{v_1 t+v_0}{t(t-1)(t-\tilde{b})}p(t)=0\label{eq:heun} \end{equation} $$

其中

$$ \begin{equation} \begin{cases} v_1=&-(M-2)(M+2)\\ v_0=&M(M-2)+\tilde{b}(M-2)(M+1)+(2M-1)c_{M-3} \end{cases}, \label{eq:coeffs} \end{equation} $$

这个方程被称为Heun方程，是一种非常经典的二阶线性微分方程，关于其性质分析已经有许多现成的结论⁴。其中一个最重要的结论是，我们可以构造一个三对角矩阵，其特征值和特征向量可以分别给出对应的归一化多项式根和多项式系数。这部分证明较为复杂，详见原文。

上述求解方法的复杂度仍然在$O(M^3)$左右，不过由于EVD方法已经有许多软硬件优化，因此复杂度总体可接受。对于算力实在有限的场景，我们进一步推导了一个闭式近似解。首先，由于原问题的外场函数实在过于微弱，在众多内部电荷（天线）的影响下显得微不足道，因此我们首先忽略外场，此时平衡方程的最优解是$M-2$阶Jacobi多项式$P^{(1,1)}_{M-2}(t)$的零点。

考虑到$M$较大，我们可以进一步近似，利用Jacobi递推关系得到，原结果将会弱收敛到Chebyshev多项式$P_{M-2}^{(-0.5,-0.5)}(t)$的零点。此时天线位置可以通过如下闭式表达式近似求解

$$ \begin{equation} t_n = \cos\left( \frac{\left( 2n+1 \right)\pi}{2N} \right), \quad n=0,1,\cdots,N-1. \end{equation} $$

通过合适的线性反变换，我们最终可以得到massive MIMO渐近下的最优天线位置。

我们还利用Gemini-2.5-Pro制作了一个demo，可以通过这个链接进行在线体验。

引用格式

ICC’26:

@INPROCEEDINGS{icc26,
	author={Liu, Shicong and Yu, Xianghao},
	booktitle={IEEE Int. Conf. Commun. (ICC)}, 
	title={Near-Field Line-of-Sight Communication with Massive Movable Antennas}, 
	address={Glasgow, United Kingdom},
	year={2026},
	month={May},
	volume={},
	number={},
}

S. Liu, X. Yu, "Near-Field Line-of-Sight Communication with Massive Movable Antennas," {\em IEEE Int. Conf. Commun. (ICC)}, Glasgow, United Kingdom, May 2026.

期刊版:

@misc{liu2025nf_mma,
	title={Near-Field Communication with Massive Movable Antennas: An Electrostatic Equilibrium Perspective}, 
	author={Shicong Liu and Xianghao Yu and Shenghui Song and Khaled B. Letaief},
	year={2025},
	eprint={2512.21660},
	archivePrefix={arXiv},
	primaryClass={cs.IT},
	url={https://arxiv.org/abs/2512.21660}, 
}

S. Liu, X. Yu, S. Song, and K. B. Letaief, ``Near-Field Communication with Massive Movable Antennas: An Electrostatic Equilibrium Perspective,'', 2025. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/2512.21660

拓展阅读

P. Wang, Y. Li, Y. Peng, S. C. Liew and B. Vucetic, “Non-Uniform Linear Antenna Array Design and Optimization for Millimeter-Wave Communications,” IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 15, no. 11, pp. 7343-7356, Nov. 2016. ↩
S. Liu, X. Yu, S. Song, and K. B. Letaief, “Near-Field Communication with Massive Movable Antennas: An Electrostatic Equilibrium Perspective”, Submitted to IEEE Trans. Wireless Commun., Dec. 2025. arXiv:2512.21660 ↩
此处的泰勒展开引入的误差足够小，但证明部分在后文提到。撰写时此处做过多次修改，选择的这种表述方法是目前比较简洁的版本。 ↩
A. Ronveaux, Heun’s Differential Equations, Oxford University Press, Oct. 1995. DOI: 10.1093/oso/9780198596950.001.0001 ↩

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Shicong LIU

引用格式

拓展阅读

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