今日我们的一篇基于离散长球变换的近场信道估计的论文被Flagship会议ICC’24正会的Wireless Communications Symposium接收，pre-print目前可以在arXiv上阅读。本文简单介绍提出方案的思路，并对部分审稿人意见的予以解答。
背景
近年来，受到RIS等超大规模阵列的影响，通信的研究方向逐渐向光学靠近，因此一些球面波假设、衍射现象等被许多论文反复提及。近场条件下，即使是视距信道也能调制多流传输，这是由于近场信道条件下的信道建模方式改变，这增大了信道矩阵的秩，但也导致传统的压缩感知方法需要更多的导频实现精确信道估计。
目前已经有不少研究者考虑到了稀疏化字典的影响，并设计了极坐标码本、chirp码本、分层码本，甚至采用了码本学习的方法为特定场景单独设计字典的方案。这些方案目前而言都存在缺陷，例如极坐标码本、chirp的多个自由度会导致很高的字典容量、非正交码字，码本学习的计算量则较高。我们希望提出一种计算量比较低，码字相互正交，性能更好的字典，从而降低近场信道估计的复杂度。
系统模型
假设近场位置的用户阵列与基站通信，则此时在用户终端上产生的电场 ${\bf E}$可以用格林函数与基站电流源 ${\bf J}$ 表示
\begin{equation}
{\bf E}({\bf r}_{\rm R}) = \int_{ {\mathcal{S}_{\rm T} } } {\mathbf{G} }\left({\bf r}_{\rm T},{\bf r}_{\rm R}\right) {\bf J}({\bf r}_{\rm T})~{\rm d}{\bf r}_{\rm T},
\end{equation}
其中格林函数有如下形式
\begin{align}
{\mathbf{G}}\left({\bf r}_{\rm T},{\bf r}_{\rm R}\right) = {} & {} \frac{j\kappa Z_0 e^{j\kappa \Vert {\bf r} \Vert}}{4\pi \Vert {\bf r} \Vert}\left[ \left( {\bf I}-\hat{\bf r}\hat{\bf r}^H \right)+ \frac{j}{\kappa\Vert {\bf r} \Vert}\left( {\bf I}-3\hat{\bf r}\hat{\bf r}^H \right)\right.\notag\\
{} & {} \left. -\frac{1}{(\kappa \Vert {\bf r} \Vert)^2}\left( {\bf I}-3\hat{\bf r}\hat{\bf r}^H \right) \right]\label{green}\\
\simeq {} & {} \varphi_0 \frac{e^{-j\kappa \Vert {\bf r}\Vert}}{\Vert{\bf r}\Vert} \left( {\bf I}-\hat{\bf r}\hat{\bf r}^H \right),\notag
\end{align}
很显然，格林函数在天线近场之外的区域内时高次项的影响甚微，忽略后就是我们常用的球面波模型。这里为了简化分析只考虑其中一个极化方向，则阵列响应可以改写为
\begin{equation}
{g}({\bf r}_{\rm T},{\bf r}_{\rm R}) = \varphi_0 \frac{e^{-j\kappa \Vert {\bf r}\Vert}}{\Vert{\bf r}\Vert}.
\label{eq:sv}
\end{equation}
若两侧均为ULA阵列，那么简单的直射径信道可以建模为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{H}_{\rm LoS}[:,m] &= {\mathbf g}_{\rm R}({\bf r}_{\rm T}^{(m)})\\&= \left[ \tilde{g}({\bf r}_{\rm T}^{(m)},{\bf r}_{\rm R}^{(1)}),\cdots,\tilde{g}({\bf r}_{\rm T}^{(m)},{\bf r}_{\rm R}^{(N_{\rm R})}) \right]^{T},
\end{aligned}
\label{eq:LoS}
\end{equation}
其中通过定义$\tilde{g}(\cdot) = g(\cdot)/\varphi_0$我们忽略了常量$\varphi_0$造成的影响。这里先考虑简单的莱斯信道，那么有
\begin{equation}
{\bf H} = \sqrt{\frac{K}{1+K}}\mathbf{H}_{\rm LoS} + \sqrt{\frac{1}{1+K}}\mathbf{H}_{\rm NLoS},
\label{eq:channelmodel}
\end{equation}
为方便起见定义
\begin{equation}
\begin{aligned}
{\bf W}^{(t)} &= ({\bf W}_{\rm RF}^{(t)}{\bf W}_{\rm BB}^{(t)})^H\\
{\bf f}^{(t)} &= {\bf F}_{\rm RF}^{(t)}{\bf F}_{\rm BB}^{(t)}{\bf s}^{(t)}
\end{aligned}
\end{equation}
那么单次观测模型就可以写作
\begin{equation}
{\bf y}^{(t)} = \left( ({\bf f}^{(t)})^{T}\otimes {\bf W}^{(t)} \right){\rm vec}({\bf H})+\tilde{\bf n}^{(t)}
\end{equation}
将多次观测叠加之后就有了
\begin{equation}
{\bf y} = {\boldsymbol{\Phi}{\bf h}}+\tilde{\bf n},
\label{eq:linearproblem}
\end{equation}
那么简单来说优化问题可以写作
\begin{equation}
\begin{aligned}
{\rm(P1)}\quad\quad\underset{\tilde{\bf h}}{\min}\ &\ \Vert \tilde{\bf h} \Vert_0\\
{\rm s.t.}\ &\ \Vert\boldsymbol{\Phi} \boldsymbol{\Psi} \tilde{\bf h}-\mathbf{y}\Vert_2 \leq \varepsilon,
\end{aligned}
\end{equation}
该问题的求解并不困难，目前也已经有许多文献介绍，主要方法就是优化放缩，贪婪迭代或者贝叶斯推断。贪婪迭代是一种折中复杂度与性能的方法，一般实现方式为字典匹配。但是近场字典的设计是个关键问题，因此我们提出如下解决方案。
提出方案
对近场信道求解自相关矩阵得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
{\bf R}_{\rm T} & \overset{~~~}{=} \mathbb{E}\left[{\bf H}^{H} {\bf H}\right]\\
& \overset{~~~}{=} \frac{K}{1+K}{\bf H}_{\rm LoS}^{H}{\bf H}_{\rm LoS}+\frac{1}{1+K}\mathbb{E}\left[ {\bf H}_{\rm NLoS}^{H}{\bf H}_{\rm NLoS} \right]\\
&\overset{~~~}{=} \gamma K{\bf H}_{\rm LoS}^{H}{\bf H}_{\rm LoS}+\gamma{\bf I},
\end{aligned}
\label{eq:autocorr}
\end{equation}
其中的每一个元素可以表示为
\begin{equation}
\begin{aligned}
{\bf R}_{\rm T}[m^\prime,m] &= \gamma K{\mathbf g}_{\rm R}^H({\bf r}_{\rm T}^{(m)}){\mathbf g}_{\rm R}({\bf r}_{\rm T}^{(m)})+\gamma {1}_{m,m^\prime}\\&=\gamma {1}_{m,m^\prime}+\gamma K\sum_{n=1}^{N_{\rm R}}\frac{e^{-j\kappa \Vert{\bf r}_{\rm T}^{(m)}-{\bf r}_{\rm R}^{(n)}\Vert }}{\Vert{\bf r}_{\rm T}^{(m)}-{\bf r}_{\rm R}^{(n)}\Vert} \\
&\quad\times\frac{e^{j\kappa \Vert{\bf r}_{\rm T}^{(m^\prime)}-{\bf r}_{\rm R}^{(n)}\Vert}}{\Vert{\bf r}_{\rm T}^{(m^\prime)}-{\bf r}_{\rm R}^{(n)}\Vert},
\end{aligned}
\label{eq:autocorr2}
\end{equation}
做一点小小的近似可以得到
\begin{align}
{\bf R}_{\rm T}[m^\prime,m] \approx &~ \gamma {1}_{m,m^\prime}\notag\\&~ +\frac{\gamma K}{r_0^2}\sum_{n=1}^{N_{\rm R}}e^{-j\kappa\frac{\left(x_{\rm T}^{(m)}-x_{\rm R}^{(n)}\right)^2-\left(x_{\rm T}^{(m^\prime)}-x_{\rm R}^{(n)}\right)^2}{2y_0}}\notag\\
=&~\gamma {1}_{m,m^\prime}+\frac{\gamma K e^{j\kappa \frac{(x_{\rm T}^{(m^\prime)})^2-(x_{\rm T}^{(m)})^2}{2y_0}}}{r_0^2 } \label{eq:dft}\\
&~\times\sum_{n=1}^{N_{\rm R}} e^{j\kappa\frac{x_{\rm R}^{(n)}\left(x_{\rm T}^{(m)}-x_{\rm T}^{(m^\prime)}\right)}{y_0} }\notag\\
\triangleq&~\gamma {1}_{m,m^\prime}+\gamma K e^{j\kappa \frac{(x_{\rm T}^{(m^\prime)})^2-(x_{\rm T}^{(m)})^2}{2y_0}} {\bf R}^\prime_{\rm T}[m^\prime,m],\notag
\end{align}
然后对该矩阵做EVD分解容易知道
\begin{equation}
{\bf R}_{\rm T}{\bf v}_m = {\bf D}_{\rm T}^{-1} \left( \gamma K\mathbf{R}^\prime_{\rm T}+\gamma {\bf I} \right){\bf D}_{\rm T}{\bf v}_m = \lambda_m{\bf v}_m,
\label{eq:evd}
\end{equation}
其中我们剥离了有位置属性的参数
\begin{equation}
{\bf D}_{\rm T} = {\rm diag}(e^{j\kappa \frac{(x_{\rm T}^{(1)})^2}{2y_0}},\cdots,e^{j\kappa \frac{(x_{\rm T}^{(N_{\rm T})})^2}{2y_0}}).
\label{eq:compensation}
\end{equation}
但是对EVD的结果并不影响。容易知道这时的相关矩阵中元素可以表示为
\begin{equation}
\begin{aligned}
{\bf R}_{\rm T}^\prime[m^\prime,m] & \overset{~~~}{=} \frac{1}{r_0^2} \sum_{n=1}^{N_{\rm R}} e^{j\kappa\frac{x_{\rm R}^{(n)}\left(x_{\rm T}^{(m)}-x_{\rm T}^{(m^\prime)}\right)}{y_0} }\\
&\overset{(a)}{\approx} \frac{1}{r_0^2} \int_{-L_{\rm R}/2}^{L_{\rm R}/2}e^{\frac{j\kappa}{y_0}x (x_{\rm T}^{(m)}-x_{\rm T}^{(m^\prime)})} {\rm d}x \\&\overset{~~~}{=}\frac{ 2y_0\sin\left[ \frac{\kappa L_{\rm R} (x_{\rm T}^{(m)}-x_{\rm T}^{(m^\prime)} )}{2y_0} \right] }{ r_0^2 \kappa \left(x_{\rm T}^{(m)}-x_{\rm T}^{(m^\prime)} \right)}\\ &\overset{~~~}{\propto}\frac{\sin\left[2\pi W (x_{\rm T}^{(m)}-x_{\rm T}^{(m^\prime)}) \right] }{ \left(x_{\rm T}^{(m)}-x_{\rm T}^{(m^\prime)} \right)},
\end{aligned}
\label{eq:toeplitzmat}
\end{equation}
该形式恰好是Sinc函数的形式，那么我们据此可以快速计算字典。实际上这个字典恰好是DPSS序列，该序列更存在快速算法实现，此处并不展开。
字典设计的方法总结如图
部分仿真结果
该仿真结果主要证明，该码本的稀疏化效果较好（相比DFT和极坐标），正交性高，且过程中的近似可以视作无误差。
这两个图主要比较不同采样数和不同码本冗余倍数下的差异。结论显然，不再赘述。
该图展示估计误差在不同范围时的收敛性。
最后表格比较了一下 如果想要达到指定性能，需要多大的码本。
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